Question

（本小題滿分13分）
已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）求的最大值；
（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過(guò)函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

（I）的最大值是16
（II）．

解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是
，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是
，即，
因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處空過(guò)的圖象，
所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則
不是的極值點(diǎn)．
而，且
．
若，則和都是的極值點(diǎn)．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，
所以，又由，得，故．