選修4-1：平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（I）求證：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=數(shù)學(xué)公式，EA=2AC，求AF的長(zhǎng)．

（Ⅰ）證明：連接AD，BC．

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以
所以AF×AB=AC×AE
設(shè)AF=a，則AB=3-a，所以a（3-a）=，所以a2-2a+1=0，解得a=1
所以AF的長(zhǎng)為1．
分析：（Ⅰ）連接AD，BC，證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，可得結(jié)論；
（Ⅱ）證明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，從而可求AF的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查三角形的相似，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：平面幾何
如圖，△ABC是內(nèi)接于⊙O，AB=AC，直線MN切⊙O于點(diǎn)C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鄭州二模）選修4-1：平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（I）求證：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=
3
，EA=2AC，求AF的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆寧夏銀川一中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（選修4—1：平面幾何
如圖，Δ是內(nèi)接于⊙O，，
直線切⊙O于點(diǎn)，弦，
與相交于點(diǎn)．
（1）求證：Δ≌Δ；
（2）若，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省雞西市高三第五次月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

選做題.(本題滿分10分.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．)

選修4—1：平面幾何

如圖，Δ是內(nèi)接于⊙O，，直線切⊙O于點(diǎn)，弦，與相交于點(diǎn).

（1）求證：Δ≌Δ；

（2）若，求．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年寧夏高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（選修4—1：平面幾何

如圖，Δ是內(nèi)接于⊙O，，

直線切⊙O于點(diǎn)，弦，

與相交于點(diǎn)．

（1）求證：Δ≌Δ；

（2）若，求．

 

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