【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若橢圓的離心率為的周長(zhǎng)為16.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn),,設(shè)弦,的中點(diǎn)分別為.證明:,,三點(diǎn)共線.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析

【解析】

)由已知橢圓E的離心率為,的周長(zhǎng)為16,解得a,b的值,可得橢圓E的方程;()設(shè),.利用點(diǎn)差法,可得,,由此可得O,MN三點(diǎn)共線.

)解:由題意知,,.又

,

橢圓E的方程為;

)證明:當(dāng)直線ABCD的斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性知,

中點(diǎn)M,Nx軸上,OM,N三點(diǎn)共線;

當(dāng)直線AB,CD的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,

且設(shè),,

,,相減得,

,即,即

;

同理可得,

,

所以O,M,N三點(diǎn)共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)討論函數(shù)的定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)處取得極值,恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知為橢圓的左右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且.

(1)求橢圓的方程;

(2)過的直線分別交橢圓,且,問是否存在常數(shù),使得等差數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的方程為:,直線的方程為.

(1)求證:直線恒過定點(diǎn);

(2)當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線的方程;

(3)在(2)的前提下,若為直線上的動(dòng)點(diǎn),且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓經(jīng)過拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn).

(1)求圓的方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于,兩點(diǎn),若圓,兩點(diǎn)處的切線互相垂直,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,的直角邊OAx軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為,直線CDAB于點(diǎn),交x軸于點(diǎn).

(1)求直線CD的方程;

(2)動(dòng)點(diǎn)Px軸上從點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某個(gè)位置,使得?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

②請(qǐng)?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時(shí),在直線l上存在點(diǎn)M,在直線CD上存在點(diǎn)Q,使得以OB為一邊,OB,MQ為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,并求出此時(shí)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求的值域;

2)若將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到函數(shù),且為奇函數(shù).

①求的最小值;

②當(dāng)取最小值時(shí),若與函數(shù)y軸右側(cè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),(i)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,求證: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】記函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D. 如果存在實(shí)數(shù)、使得對(duì)任意滿

x恒成立,則稱函數(shù).

1)設(shè)函數(shù),試判斷是否為函數(shù),并說明理由;

2)設(shè)函數(shù),其中常數(shù),證明: 函數(shù);

3)若是定義在上的函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于直線m為常數(shù))對(duì)稱,試判斷是否為周期函數(shù)?并證明你的結(jié)論.

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