偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),若x>1時(shí),f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)求證f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集.
分析:(1)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y),即可求得f(1)的值;
(2)可令y=
1
x
,代入f(xy)=f(x)+f(y),得到f(x)+f(
1
x
)=0.再利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可;
(3)利用偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(4)=1,將不等式f(3x+1)≤2轉(zhuǎn)化為|3x+1|≤16(x≠0),解之即可.
解答:解:(1)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y),得f(1)=0;
(2)令y=
1
x
,代入f(xy)=f(x)+f(y),得f(x)+f(
1
x
)=0,即f(
1
x
)=-f(x);
∵x>1時(shí),f(x)>0,令0<x1<x2,
x2
x1
>1,
∴f(
x2
x1
)=f(x2
1
x1
)=f(x2)+f(
1
x1
)=f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)∵偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(4)=1,
∵f(3x+1)≤2=f(4)+f(4)=f(16),
∴|3x+1|≤16(x≠0),
∴-
17
3
≤x<0或0<x≤5.
∴所求不等式的解集為:{x|-
17
3
≤x<0或0<x≤5}.
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其用,著重考查函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性及解絕對值不等式,突出考出化歸思想與綜合分析與應(yīng)用的能力,屬于難題.
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精英家教網(wǎng)定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則在(-2,0)上,下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是(  )
A、y=x2+1
B、y=|x|+1
C、y=
2x+1,x≥0
x3+1,x<0
D、y=
ex,x≥0
e-x,x<0

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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的最小值為1,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=aex
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求最大的整數(shù)m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤ex.(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))

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已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間為[0,+∞),則不等式f(x)<f(2-x)的解集是
(1,+∞)
(1,+∞)

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已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)的最小值為3,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=3ex+a(a為常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求最大的整數(shù)m(m>1),使得存在實(shí)數(shù)t,對任意的x∈[1,m]都有f(x+t)<3ex.

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