Question

已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

(3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

（1）的最大值為（2）.（3）當(dāng)方程無解；

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.

【解析】

試題分析：（1）由題意由于，所以函數(shù)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)是在區(qū)間上的減函數(shù)，所以可以得到的范圍；

（2）由對所有滿足條件的實(shí)數(shù)及對任意，在上恒成立 解出即可；

（3）利用方程與函數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造成兩函數(shù)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)加以分析求解．

試題解析：（1），

上單調(diào)遞減，

在[-1，1]上恒成立，，故的最大值為

（2）由題意

（其中），恒成立，

令，

若，則有恒成立，

若，則，

恒成立，

綜上，

（3）由

令

當(dāng)上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；

當(dāng)而

方程無解；

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．