Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱PD⊥底面，，

是的中點(diǎn)，作⊥交于點(diǎn).

（1）證明：∥平面；

（2）證明：⊥平面.

Answer 1

（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行，往往利用其判定定理進(jìn)行證明，即先證PA平行于平面某一條直線，這可根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到：連結(jié)交與，連結(jié)，則點(diǎn)是的中點(diǎn). 又∵是的中點(diǎn)，∴∥.而平面，平面，∴∥平面

（2）證明線面垂直，往往利用其判定定理進(jìn)行證明，即先證垂直平面內(nèi)兩條相交直線：已知⊥，只需證⊥.由于⊥，因此只需證⊥，又由于⊥，只需證⊥，這可由⊥底面得到.

試題解析：證明：(1)連結(jié)交與，連結(jié).

∵底面是矩形，

∴點(diǎn)是的中點(diǎn).

又∵是的中點(diǎn)

∴在△中，為中位線

∴∥.

而平面，平面，

∴∥平面. 7分

(2)由⊥底面，得⊥.

∵底面是正方形，

∴⊥，

∴⊥平面. 而平面，

∴⊥.①

∵，是的中點(diǎn)，

∴△是等腰三角形， ⊥.②

由①和②得⊥平面.

而 平面，∴⊥.

又⊥且=，

∴⊥平面. 14分

考點(diǎn)：線面平行與垂直的判定定理