Question

【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分別為棱DD1,AB,BC的中點(diǎn).

(1)求二面角B1-MN-B的正切值.

(2)求證:PB⊥平面MNB1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由平面DD1B1B⊥平面ABCD,得AC⊥平面DD1B1B，故可得MN⊥平面DD1B1B，所以B1F⊥MN,BF⊥MN，可得∠B1FB即為二面角B1-MN-B的平面角，在Rt△B1FB中, 可得tan∠B1FB=2.（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AA1，則PE∥DA, 由DA⊥平面ABB1A1,得PE⊥平面ABB1A1,所以PE⊥B1M，又BE⊥B1M, 所以B1M⊥平面PEB，從而PB⊥MB1，又PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1.

試題解析：

(1)連接BD交MN于F,連接B1F,連接AC.

因?yàn)槠矫鍰D1B1B⊥平面ABCD,交線為BD,AC⊥BD,

所以AC⊥平面DD1B1B，

又因?yàn)锳C∥MN,

所以MN⊥平面DD1B1B.

因?yàn)锽1F,BF平面DD1B1B,

所以B1F⊥MN,BF⊥MN，

因?yàn)锽1F平面B1MN,BF平面BMN,

所以∠B1FB即為二面角B1-MN-B的平面角，

在Rt△B1FB中,設(shè)B1B=1,則FB=,

所以tan∠B1FB=2.

故二面角B1-MN-B的正切值為2.

(2)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AA1，則PE∥DA,連接BE.

又DA⊥平面ABB1A1,

所以PE⊥平面ABB1A1,

因?yàn)锽1M平面ABB1A1,

所以PE⊥B1M，

又BE⊥B1M, PE∩BE=E，

所以B1M⊥平面PEB.

所以PB⊥MB1.

由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,

又MB1∩MN=M，

所以PB⊥平面MNB1.