Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，且分別為線段的中點(diǎn)，沿把折起，使，得到如下的立體圖形.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由，結(jié)合，且，所以平面.因為平面，所以平面平面；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，則，又，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：由題可得，則，

又，且，所以平面.

因為平面，所以平面平面；

（2）解：

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，，

又，所以平面，

易證，則，得，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.

故，

設(shè)是平面的法向量，則，

令，得，

設(shè)是平面的法向量，則，

令，則，

因為，所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角，以及面面垂直的證明，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.