已知數(shù)列單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù),若任意的),仍是中的項,則稱數(shù)列為“項可減數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列是“項可減數(shù)
列”,試確定的最大值;
(2)求證:若數(shù)列是“項可減數(shù)列”,則其前項的和;
(3)已知是各項非負的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,
并說明理由.
(1)2 (2).    (3)(2)的逆命題為:已知數(shù)列為各項非負的遞增數(shù)列,若其前項的和滿足,則該數(shù)列一定是“項可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.
(1)根據(jù)題意可知,
易得,即數(shù)列一定是“2項可減數(shù)列”.
(2)因為數(shù)列是“項可減數(shù)列”,
所以必定是數(shù)列中的項.
是遞增數(shù)列,故
所以必有,
是解決本小題的關(guān)鍵.
(3) 的逆命題為:
已知數(shù)列為各項非負的遞增數(shù)列,若其前項的和滿足
則該數(shù)列一定是“項可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.
證明要注意利用,求出的通項公式.
(1)設(shè),則
易得,即數(shù)列一定是“2項可減數(shù)列”,
但因為,所以的最大值為2. ………………5分
(2)因為數(shù)列是“項可減數(shù)列”,
所以必定是數(shù)列中的項, ………………………7分
是遞增數(shù)列,故,
所以必有,


所以,即
又由定義知,數(shù)列也是“項可減數(shù)列”,
所以.      ……………………………10分
(3)(2)的逆命題為:
已知數(shù)列為各項非負的遞增數(shù)列,若其前項的和滿足,
則該數(shù)列一定是“項可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.……………………12分
理由如下:因為,所以當時,,
兩式相減,得,即 (
則當時,有
由()-(),得,
,所以,故數(shù)列是首項為0的遞增等差數(shù)列.
設(shè)公差為,則
對于任意的,,
因為,所以仍是中的項,
故數(shù)列是“項可減數(shù)列”.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知,過點的直線的傾斜角為,且,則下列選項不正確的是( )
A.成等差數(shù)列
B.成等比數(shù)列
C.既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列
D.既非等差數(shù)列,也非等比數(shù)列

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知為等差數(shù)列,為正項等比數(shù)列,公比q≠1,若,則(   )
A.a(chǎn)6=b6B.a(chǎn)6>b6C.a(chǎn)6<b6D.a(chǎn)6>b6或a6<b6

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已知是等差數(shù)列,,,則等于(  )
A.42B.45C.47D.49

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在等差數(shù)列中,前15項的和 ,為( )
A.3B.4C.6D.12

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在等差數(shù)列{an}中,若a3=-1,a7=1,則a11=       .

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