精英家教網(wǎng)如圖,已知直線a∥b,且a與b之間的距離為4,點A到直線a的距離為2,點B到直線b的距離為3,AB=2
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.試在直線a上找一點M,在直線b上找一點N,滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短,則此時AM+NB=( 。
A、6B、8C、10D、12
分析:如圖所示,作BB′⊥b,分別交b,a與點E,F(xiàn),且滿足B′F=BE=3.再作AC⊥a,垂足是C點,延長AC到點A′,使得A′C=CA=2.連接A′B交a于點M,過點M作MN⊥a,交b于點N.則AM+MN+NB的長度和最短.證明并求出即可.
解答:解:如圖所示,作BB′⊥b,分別交b,a與點E,F(xiàn),且滿足B′F=BE=3.精英家教網(wǎng)
再作AC⊥a,垂足是C點,延長AC到點A′,使得A′C=CA=2.
連接A′B交a于點M,過點M作MN⊥a,交b于點N.
則AM+MN+NB的長度和最短.證明如下:
若在直線a上取除了點M以外的任意一點M′,
則AM′+M′N′+N′B=A′M′+M′N′+B′M′>A′B′+MN.
作BE⊥AC交AC的延長線于點E.作A′F⊥BB′.垂足為點F.
此時AM+NB=A′B′.
∵AB2=AE2+EB2,∴(2
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)2=(2+4+3)2+EB2
,解得EB2=39.
∴此時AM+NB=A′B′=
AF2+BF2
=
39+(2+4+3-2-2)2
=8.
故選:B.
點評:本題考查了利用軸對稱圖形和性質(zhì)解決實際距離最短問題,考查了三角形的三邊大小關(guān)系,考查了推理能力和解決問題的能力,屬于難題.
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