已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓的離心率為
,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2為其焦點,一直線過點F
1與橢圓相交于A、B兩點,且△F
2AB的最大面積為
,求橢圓的方程.
由e=
得
a:b:c=:1:1,所以橢圓方程設(shè)為x
2+2y
2=2c
2設(shè)直線AB:x=my-c,由
得:(m
2+2)y
2-2mcy-c
2=0
∴△=4m
2c
2+4c
2(m
2+2)=4c
2(2m
2+2)=8c
2(m
2+1)>0
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則y
1,y
2是方程的兩個根
由韋達(dá)定理得
,所以
|y1-y2|==∴
S△ABF2=|F1F2||y1-y2|=c•2c=
≤2c2•=c2當(dāng)且僅當(dāng)m=0時,即AB⊥x軸時取等號
∴
c2=,c=1∴所求橢圓方程為
+y2=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知動點P(x,y)滿足,
+=,則
取值范圍( 。
A.(-∞,]∪[4,+∞) | B.(-∞,]∪[2+∞) | C.[,4] | D.[,2] |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓mx
2+ny
2=1與直線y=1-x交于M、N兩點,過原點與線段MN中點的直線的斜率為
,則
的值為( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x,且過點D
(,).l
1,l
2是過點P
(-,0)的兩條互相垂直的直線,且l
1,l
2與雙曲線各有兩個交點,分別為A
1,B
1和A
2,B
2.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求l
1斜率的范圍
(3)若
|A1B1|=|A2B2|,求l
1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線y
2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為
直線與拋物線在x軸上方的交點為M,過M作y軸的垂線,垂足為N,O為坐標(biāo)原點,若四邊形OFMN的面積為
4.
(1)求拋物線的方程;
(2)若P,Q是拋物線上異于原點O的兩動點,且以線段PQ為直徑的圓恒過原點O,求證:直線PQ過定點,并指出定點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
+
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F
1、F
2,焦距為2c;若以F
2為圓心,b-c為半徑作圓F
2,過橢圓上任一點P(x
0,y
0)作此圓的切線,切點為T,且|PT|的最小值不小于
(a-c).
(Ⅰ)證明:|PF
2|的最小值為a-c;
(Ⅱ)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(Ⅲ)若橢圓的短半軸長為1,圓F
2與x軸的右交點為Q,過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點,若OA⊥OB,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
AB是過C:y2=4x焦點的弦,且|AB|=10,則AB中點的橫坐標(biāo)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線y2=6x,過點p(3,1)引一條弦p1p2使它恰好被點p平分,求這條弦所在直線方程及|p1p2|.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知中心在原點的雙曲線C的離心率為
,一條準(zhǔn)線方程為x=
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若直線l:y=kx+
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且
•>2(其中O為原點),求k的取值范圍.
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