Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，BC⊥平面ABE．平面BCE⊥平面ACE，AE=EB=BC=2
（Ⅰ）求證：AE⊥BE；
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明：取EC的中點F，連BF，又EB=BC=2，推斷出BF⊥EC，平面BEC⊥平面AEC，且平面BCE∩平面ACE=CE，推斷出BF⊥平面ACE，又BF?平面BCE，進而可知BF⊥AE，又BC⊥平面ABE，且AE?平面ABE，則BC⊥AE，且BF∩BC=B，根據(jù)線面垂直推斷出AE⊥平面BCE，又通過線面垂直的性質(zhì)可知，AE⊥BE．
（Ⅱ）分別取CD，AB的中點M，N，連EM，MN，EN，AE=EB=BC=2，及（Ⅰ）求得DE=CE=2

2

，進而可知EM⊥CD，NM∥AD，由四邊形ABCD為矩形，推斷MN⊥CD，進而可知∠EMN為二面角A-CD-E的平面角，根據(jù)AD⊥平面ABE，推斷出MN⊥平面ABE，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知MN⊥EN，在Rt△MNE中，求得cos∠EMN，則二面角A-CD-E的余弦值可得．

解答： （Ⅰ）證明：取EC的中點F，連BF，又EB=BC=2，
∴BF⊥EC，
又平面BEC⊥平面AEC，且平面BCE∩平面ACE=CE，
∴BF⊥平面ACE，又BF?平面BCE，
∴BF⊥AE，
又∵BC⊥平面ABE，且AE?平面ABE，則BC⊥AE，且BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE．
（Ⅱ）分別取CD，AB的中點M，N，連EM，MN，EN，
∵AE=EB=BC=2，及（Ⅰ）可知DE=CE=2

2

，
∴EM⊥CD，NM∥AD，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴MN⊥CD，
∴∠EMN為二面角A-CD-E的平面角，
∵AD⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，
EN?平面AEB，
∴MN⊥EN，
在Rt△MNE中，EN=

2

，NM=2，EM=

6

，
∴cos∠EMN=

MN

EM

=

6

3

∴二面角A-CD-E的余弦值為

6

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，二面角的平面角的計算．考查了學(xué)生空間觀察能力和運算能力．