Question

已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（1）（2）設(shè)切線，方程有三個相異的實數(shù)根．函數(shù)與x軸有三個交點，得
，滿足極大值，極小值得

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．(1分) 曲線在點處的切線方程為：   ，    （2分）
即 ．           （4分）
（2）如果有一條切線過點，則存在，使．    （5分）
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程  有三個相異的實數(shù)根．（6分）  記   ，則  ．      （（7分）
當(dāng)變化時，變化情況如下表：

		0
		0		0
		極大值		極小值

（表10分）（畫草圖11分）由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．
綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則 （13分）   即   ．    （14分）
點評：幾何意義：函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處的切線斜率，第一問利用幾何意義求得斜率；第二問有三條切線即有三個切點，轉(zhuǎn)化為方程有三個不同的根，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸有三個交點，即可通過極值判定，本題難度較大