已知動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x=1的距離之比為
(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點P的軌跡為曲線C,過點F作互相垂直的兩條直線l1、l2,l1交曲線C于A、B兩點,l2交曲線C于M、N兩點.求證:為定值.
【答案】分析:(1)設(shè)出動點P的坐標(biāo),直接利用條件寫方程,化簡.
(2)當(dāng)當(dāng)直線l1,l2之一與x軸垂直時,易求此定值,當(dāng)直線l1,l2都不與x軸垂直時,設(shè)出直線l1的方程,得到l2的方程,將l1的方程于雙曲線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系計算,進(jìn)而計算的值,同理計算的值,即得結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由題意得:
所以點P的軌跡方程為x2-y2=2.(4分)
(Ⅱ)當(dāng)直線l1,l2之一與x軸垂直,不妨設(shè)l1與x軸垂直,此時,,,,
所以.(6分)
當(dāng)直線l1,l2都不與x軸垂直時,
由題意設(shè)直線l1為y=k(x-2)k≠0,
則l2的方程,
得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0.(7分)
因為l1交雙曲線C于A、B兩點,
所以解得k≠±1.(8分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
,,y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),
因為=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]==(11分)
同理,(12分)
所以=
為定值0.(14分)
點評:本題考查軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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已知動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x=1的距離之比為
2

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點P的軌跡為曲線C,過點F作互相垂直的兩條直線l1、l2,l1交曲線C于A、B兩點,l2交曲線C于M、N兩點.求證:
1
FA
FB
+
1
FM
FN
為定值.

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2
,0)的距離與到直線x=-
2
2
的距離之比為
2

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PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)
,求直線PN在y軸上的截距d的取值范圍.

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12

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