已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(-
2
,0)的距離與到直線x=-
2
2
的距離之比為
2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)E(0,1)的直線與曲線C在y軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)P(-2,0)滿足
PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)
,求直線PN在y軸上的截距d的取值范圍.
分析:(1)直接設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),列出M的關(guān)系式,代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即可.即用直接法求軌跡方程.
(2)由(1)可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡C為雙曲線,聯(lián)立方程,消元,若過(guò)點(diǎn)E(0,1)的直線與曲線C在y軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn)A、B,即消元后的方程應(yīng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,故
k2-1≠0
△=4k2+8(1-k2)>0
x1+x2=
2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
,求出k的范圍.由
PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)
知N為AB的中點(diǎn),由維達(dá)定理表示出N的坐標(biāo),寫出PN的方程,令x=0,用k表示出直線PN在y軸上的截距d,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
解答:解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)可知
(x+
2
)
2
+y2
|x+
2
2
|
=
2
,整理得:x2-y2=1,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C方程為x2-y2=1
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題設(shè)直線AB的方程為:y=kx+1,
y=kx+1
x2-y2=1
(x≤-1)消去y得:(1-k2)x2-2kx-2=0(x≤-1),
由題意可得:
k2-1≠0
△=4k2+8(1-k2)>0
x1+x2=
2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0

解得1<k<
2
PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)
,∴N為AB中點(diǎn),設(shè)N(x0,y0
x0=
x1+x2
2
=
k
1-k2
,y0=kx0+1=
1
1-k2

∴N(
k
1-k2
,
1
1-k2
),P(-2,0),Q(0,d)三點(diǎn)共線可知d=
2
-2k2+k+2

令f(k)=-2k2+k+2,則f(k)在(1,
2
)上為減函數(shù).
∴f(
2
)<f(k)<f(1)且f(k)≠0,則d<-(2+
2
)或d>2.
點(diǎn)評(píng):本題考查直接法求軌跡方程和直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷、圓錐曲線中范圍的求解,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.
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相關(guān)習(xí)題

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精英家教網(wǎng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離,等于它到直線x=-1的距離.
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F任意作互相垂直的兩條直線l1,l2,分別交曲線C于點(diǎn)A,B和M,N.設(shè)線段AB,MN的中點(diǎn)分別為P,Q,求證:直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求△FPQ面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•深圳二模)已知?jiǎng)狱c(diǎn) M 到點(diǎn) F(0,1)的距離與到直線 y=4 的距離之和為 5.
(1)求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程,并畫出圖形;
(2)若直線 l:y=x+m 與軌跡 E 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) A、B,求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求弦長(zhǎng)|AB|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1個(gè)單位長(zhǎng)度.
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F任意作互相垂直的兩條直線l1,l2,分別交曲線C于點(diǎn)A、B和M、N,設(shè)線段AB、MN的中點(diǎn)分別為P、Q,求證:直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•重慶三模)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(
p
2
,0)(p>0)
的距離比它到y(tǒng)軸的距離多
p
2

(I)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(II)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C,過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),若y軸正半軸上存在點(diǎn)P使得△PAB是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求直線l的方程.

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