Question

若方程的根在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上，則k的值為

1. A.
   -1
2. B.
   1
3. C.
   -1或2
4. D.
   -1或1

Answer 1

D
分析：令f（x）=ln（x+1）-，x＞-1，則當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得f（x）在（ 1，2）上有唯一零點(diǎn)，
此時(shí)，k=1．當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）在區(qū)（-1，0）上也是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得f（x）在（-1，0）
上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)，k=-1．綜合可得k的值．
解答：令f（x）=ln（x+1）-，且x＞-1，則方程的實(shí)數(shù)根即為f（x）的零點(diǎn)．
則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上單調(diào)遞增，
由于f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，故f（x）在（1，2）上有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）在區(qū)（-1，0）上也是增函數(shù)，由f（-）=ln+=-ln100＜3-lne³=0，
f（-）=ln+200＞200-ln1＞200＞0，
可得 f（-）•f（-）＜0，故函數(shù)f（x）在（-，-）上也有唯一零點(diǎn)，
故f（x）在區(qū)（-1，0）上也唯一零點(diǎn)，此時(shí)，k=-1．
綜上可得，∴k=±1，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，
屬于基礎(chǔ)題．