Question

橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積的取值范圍是[3b²，4b²]，則該橢圓的離心率e的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，表示出圓的內(nèi)接矩形長(zhǎng)和寬，可得矩形的面積，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，可得a和c的不等式關(guān)系，即可求出離心率e的范圍．
解答：在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
則橢圓的內(nèi)接矩形長(zhǎng)為2acosθ，寬為2bsinθ，
內(nèi)接矩形面積為2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，∴3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12a²≥16c²，
∴≤≤
即e∈
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．