【題目】已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并解不等式；

（3）設(shè)，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）（2）證明見解析，不等式的解集為（3）

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，由，即可求解；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，設(shè)是上任意兩個實數(shù)，且，比較的大小關(guān)系，即可證明函數(shù)單調(diào)性，再由，利用單調(diào)性解不等式.

（3）由（1）中解析式，寫出解析式，運用換元法，設(shè)，則恒成立，可轉(zhuǎn)化成，恒成立，根據(jù)恒成立思想，轉(zhuǎn)化不等式，即可求解.

解：（1）由為定義域為的奇函數(shù)，

，得；經(jīng)檢驗適合題意

（2）由（1）知，.

設(shè)是上任意兩個實數(shù)，且，則

由是定義在上的增函數(shù)，又，；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，，；

于是，即.

所以，函數(shù)是定義在上的減函數(shù).

；

是定義在上的減函數(shù)，∴上式等價于，即；

∴不等式的解集為.

（3）.

設(shè)，則，恒成立，

即，恒成立，

整理得，，恒成立.

設(shè)，，

則，若滿足題意需，即；

所以，實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人（被稱為微商）.為子調(diào)查每天微信用戶使用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性使用微信的時間分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)女性頻率分布直方圖估計女性使用微信的平均時間；

（2）若每天再微信超過4個小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“微信控”與“性別有關(guān)”？

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【題目】某單位為促進職工業(yè)務(wù)技能提升，對該單位120名職工進行一次業(yè)務(wù)技能測試，測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機抽取了10名職工的測試結(jié)果，將它們編號后得到它們的統(tǒng)計結(jié)果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.

表1：

編號\測試項目

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

規(guī)定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.

①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數(shù)為，根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計表，列出的分布列，并估計這120名職工的平均得分；

②假設(shè)各名職工的各項測試結(jié)果相互獨立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為，其中為第項測試難度，為第項合格的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項測試合格人數(shù)及相應(yīng)的實測難度如下表（表2）：

表2：

測試項目

1

2

3

4

5

實測合格人數(shù)

8

8

7

7

2

定義統(tǒng)計量，其中為第項的實測難度，為第項的預(yù)測難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)測合理，否則為不合理，測試前，預(yù)估了每個預(yù)測項目的難度，如下表（表3）所示：

表3：

測試項目

1

2

3

4

5

預(yù)測前預(yù)估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

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【題目】下列說法中錯誤的是（ ）

A. 先把高二年級的2000名學生編號為1到2000，再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生，其編號為，然后抽取編號為，，的學生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法；

B. 獨立性檢驗中，越大，則越有把握說兩個變量有關(guān)；

C. 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1；

D. 若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是.

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【題目】下列四個命題：

①函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)；

②函數(shù)有兩個零點，則；

③函數(shù)，則的解集為；

④函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

其中正確命題的序號為__________.

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【題目】甲、乙兩人射擊，已知甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為．

（1）兩人各射擊一次，求至少有一人擊中目標的概率；

（2）若制定規(guī)則如下：兩人輪流射擊，每人至多射擊2次，甲先射，若有人擊中目標即停止射擊．

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②記甲、乙兩人射擊次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學期望．

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【題目】已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，.

（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）若，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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