Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（

3π

4

，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，
（1）求φ和ω的值；
（2）已知對(duì)任意x∈R函數(shù)g（x）滿足g（π+x）=g（π-x），且當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，g（x）=f（x），試求：g（

3π

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,壓軸題,數(shù)形結(jié)合,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）是偶函數(shù)可得ϕ的值，圖象關(guān)于點(diǎn)M（

3π

4

，0）對(duì)稱可得函數(shù)關(guān)系f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），可得ω的可能取值，結(jié)合單調(diào)函數(shù)可確定ω的值．
（2）由（1）得f（x）=sin（ωx+

π

2

）（ω＞0，0≤φ≤π），又由題意可得函數(shù)圖象關(guān)于x=π對(duì)稱，即有ω×π+

π

2

=2kπ±

π

2

，k∈Z，結(jié)合（1）可得ω=2，從而求出解析式：g（x）=f（x）=sin（2x+

π

2

），即可求g（

3π

2

）的值．

解答： 解：（1）解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
對(duì)任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依題設(shè)0≤φ≤π，所以解得φ=

π

2

，
由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
得f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），
取x=0，得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴cos

3ωπ

4

=0，
又w＞0，得

3ωπ

4

=

π

2

+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，…
當(dāng)k=0時(shí)，ω=

2

3

，f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)k=1時(shí)，ω=2，f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)k=2時(shí)，ω=

10

3

，f（x）=sin（

10

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)；
所以，綜合得ω=

2

3

或2．
（2）∵由（1）得f（x）=sin（ωx+

π

2

）（ω＞0，0≤φ≤π），
又∵對(duì)任意x∈R函數(shù)g（x）滿足g（π+x）=g（π-x），且當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，g（x）=f（x），
∴由題意可得函數(shù)圖象關(guān)于x=π對(duì)稱，即有ω×π+

π

2

=2kπ±

π

2

，k∈Z，
∴從而解得：ω=2k或2k-1，k∈Z即ω是整數(shù)，
∴由（1）可得ω=2，g（x）=f（x）=sin（2x+

π

2

），
∴g（

3π

2

）=sin（2×

3π

2

+

π

2

）=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性等基本知識(shí)，以及分析問(wèn)題和推理計(jì)算能力，考察了數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．