已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a3=9，S6=60．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=abn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
（Ⅲ）若
7
m
35
≤
1
2n+3
（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）…（1+
1
an-1
）對(duì)n≥2且n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）本題先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出其首項(xiàng)和公差，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）再利用（1）的結(jié)論，結(jié)合新數(shù)列的定義，求出新的數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）利用n的代數(shù)式的單調(diào)性，求出相應(yīng)式子的最值，得到本題結(jié)論．
解答： 解：（I）由已知得
a1+2d=9
6a1+
6×5×d
2
=60
，
解得
a1=5
d=2
，
∴an=2n+3．
（II）∵an=2n+3，
∴bn+1=2bn+3，
∴bn+1+3=2（bn+3），
又b1+3=4，
∴{bn+3}是以4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列．
∴bn+3=4•2n-1，bn=2n+1-3．
∴Tn=
4•(1-2n)
1-2
-3n=2n+2-3n-4．
（Ⅲ）設(shè)An=(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
…
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
，
則當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，
An+1
An
=
(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)•
1
2n+5
(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
1
2n+5
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
1
2n+3
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)
=
2n+3
(1+
1
an
)
2n+5

=
2n+4
2n+3
•
2n+3
2n+5
=
2n+4
(2n+3)(2n+5)
=
2n+4
4n2+16n+15
＞
2n+4
4n2+16n+16
=1=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
＞1．
所以An+1＞An，即當(dāng)n增大時(shí)，An也增大．
要使
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
≤
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
…
7
m
35
≤(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)…(1+
1
an-1
)•
1
2n+3
對(duì)n≥2且n∈N*恒成立，
只需
7
m
35
≤(An)min即可．
∵(An)min=A2=
6
5
•
1
7
=
6
7
35
．
∴
7
m
35
≤
6
7
35
，即m≤6，
所以實(shí)數(shù)m的最大值為6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的直接運(yùn)用和技巧性運(yùn)用，還利用單調(diào)性對(duì)數(shù)列相關(guān)最值進(jìn)行研究，有一定的難度，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ，x∈R，0＜φ＜π，f（
π
4
）=-
3
2
．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（
α
2
-
π
3
）=
5
13
，α∈（
π
2
，π），求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-sinx-
1
3
ax3，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）+sinx的極值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在R是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2
3
cos2x-
3
，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（-3x）+1的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若銳角A滿足f（
A
2
-
π
6
）=
3
，且a=7，sinB+sinC=
13
3
14
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T．其范圍為[0，10]，分別有五個(gè)級(jí)別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通； T∈[4，6）輕度擁堵； T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶拢砀叻鍟r(shí)段（T≥2），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分直方圖如圖所示．
（Ⅰ）請(qǐng)補(bǔ)全直方圖，并求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶侣范胃饔卸嗌賯�(gè)？
（Ⅱ）用分層抽樣的方法從交通指數(shù)在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）從（Ⅱ）中抽出的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少一個(gè)路段為輕度擁堵的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

歐陽(yáng)修《賣油翁》中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見(jiàn)“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油（油滴是直徑為0.2cm的球）正好落人孔中的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，直線l是曲線y=f（x）在x=4處的切線，令g（x）=
f(x)
x
，則g′（4）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”．若函數(shù)h（x）=lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù)，求M的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球且編號(hào)為1，2的兩個(gè)小球不能放到同一個(gè)盒子里，則不同放法的種數(shù)有
 
．（用數(shù)字作答）

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