【題目】如圖，正三棱柱中，為中點，為上的一點，.

（1）若平面，求證：.

（2）平面將棱柱分割為兩個幾何體，記上面一個幾何體的體積為，下面一個幾何體的體積為，求.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可得四點在同一個平面上，則易知.

(2)由題意轉(zhuǎn)化頂點可求得棱錐的體積，.

試題解析：

（1）如圖，取中點，連接.

棱柱為正三棱柱，

為正三角形，側(cè)棱兩兩平行且都垂直于平面.

，

平面，， 平面，

平面， ，四點在同一個平面上.

平面，平面，平面平面，

， ， ，為中點，即.

（2）正三棱柱的底面積，則體積.

下面一個幾何體為四棱錐，底面積，因為平面平面，過點作邊上的高線，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得此高線垂直于平面，故四棱錐的高，則，從而.

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