Question

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2） 詳見解析；（3）.

試題分析：（1）利用三角形的中位線定理證明；（2）證明平面，再證；（3）用向量法求解.
試題解析：（1)連結(jié)交于，連結(jié),因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023143562505.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因?yàn)檎�方�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023143125502.png" style="vertical-align:middle;" />與矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在滿足條件的.
依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023143203581.png" style="vertical-align:middle;" />，則，，，，，所，
易知為平面的法向量，設(shè)，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，
則，又二面角的大小為，
所以，解得.
故在線段上是存在點(diǎn)，使二面角的大小為，且.