已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點(diǎn)．
(1)求a；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點(diǎn)，求b的取值范圍．
（1）a＝16（2）單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，(3，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)．（3）(32ln 2－21,16ln 2－9)
f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．
(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，
∴a＝16.經(jīng)檢驗(yàn)此時x＝3為f(x)的極值點(diǎn)，故a＝16.
(2)由(1)知f′(x)＝.
當(dāng)－1<x<1或x>3時，f′(x)>0；
當(dāng)1<x<3時，f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，(3，＋∞)，
單調(diào)減區(qū)間為(1,3)．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1或x＝3時，f′(x)＝0.所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln 2－9，極小值為f(3)＝32ln 2－21.
因?yàn)?i>f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，
f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，
所以根據(jù)函數(shù)f(x)的大致圖象可判斷，在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)內(nèi)，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)．
因此b的取值范圍為(32ln 2－21,16ln 2－9)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在處存在極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)A，B使得是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實(shí)根個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知函數(shù)f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）證明：＜ln＜，其中0＜a＜b；
（3）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若，則，滿足什么條件時，曲線與在處總有相同的切線？
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)時，若對任意的恒成立，求的取值的集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若在區(qū)間上有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(   )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)直線x＝t，與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝ln x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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