(2012•普陀區(qū)一模)已知數(shù)列{an}是首項為2的等比數(shù)列,且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)
(1)求常數(shù)p的值和數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項,…,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{bn},試寫出數(shù)列
{bn}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)n,使得
Tn+1
Tn
=
11
3
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值,若不存在,請說明理由.
分析:(1)由a1=2,an-1=pan+2n,求得a2=2p+2,a3=2p2+2p+4,由存在常數(shù)p,使得數(shù)列an為等比數(shù)列,求出(2p+2)2=2(2p2+2p=4),由此能求出常數(shù)p的值和數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)得:(i)當(dāng)n=2k(k∈N*)時,bn=a3k=23k;(ii)當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,bn=a3k-1=23k-1,由此能求出數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)由{b2n-1}是首項為b1=4,公式q=8的等比數(shù)列,知{b2n}是首項b2=8,公比q=8的等比數(shù)列,由此能求出Tn=
5•8
n+1
2
-12
7
,n=2k-1
12•8
n
2
-12
7
,n=2k
.假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則
Tn+1
Tn
=
Tn+bn+1
Tn
=1+
bn+1
Tn
=
11
3
,即
bn+1
Tn
=
8
3
.由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)n=2時,
Tn+1
Tn
=
11
3
解答:解:(1)由a1=2,an-1=pan+2n,
a2=2p+2,a3=2p2+2p+4,
∵存在常數(shù)p,使得數(shù)列an為等比數(shù)列,
∴a 22=a1a3,即(2p+2)2=2(2p2+2p=4),
∴p=1.
故數(shù)列{an}為首項是非,公比為2的等比數(shù)列,即an=2n,
此時,an+1=2n+2n=2n+1也滿足,
則所求常數(shù)p的值為1,且an=2n(n∈N*).
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)n=2k(k∈N*)時,bn=a3k=23k;
(ii)當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,bn=a3k-1=23k-1
bn=
2
3n+1
2
,n=2k-1
2
3n
2
,n=2k
,(k∈N*)

(3)∵{b2n-1}是首項為b1=4,公式q=8的等比數(shù)列,
{b2n}是首項b2=8,公比q=8的等比數(shù)列,則
(i)當(dāng)n=2k(k∈N*)時,
Tn=T2k=(b1+b3+…+b2k-1)+(b2+b4+…+b2k
=
4(8k-1)
8-1
+
8(8k-1)
8-1

=
12•8k-12
7

=
12•8
n
2
-12
7

(ii)當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,
Tn=T2k-1=T2k-b2k=
12•8k-12
7
-8k

=
5•8k-12
7

=
5•8
n+1
2
-12
7

Tn=
5•8
n+1
2
-12
7
,n=2k-1
12•8
n
2
-12
7
,n=2k

假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則
Tn+1
Tn
=
Tn+bn+1
Tn
=1+
bn+1
Tn
=
11
3
,
bn+1
Tn
=
8
3

則(i)當(dāng)n=2k(k∈N*)時,
bn+1
Tn
=
b2k+1
T2k
=
23k+2
12•8k-12
7
=
8
3
,
解得8k=8,k=1.
即當(dāng)n=2時,滿足條件.
(ii)當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,
bn+1
Tn
=
b2k
Tn
=
8k
5•8k-12
7
=
7•8k
5•8k-12
=
8
3

解得8k=
96
19
,
∵k∈N*,∴此時無滿足條件的正整數(shù)n.
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時,
Tn+1
Tn
=
11
3
點評:本題考查數(shù)列通項公式的求法,考查正整數(shù)是否存在的探究.考查數(shù)列、不等式知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識.
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e
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,
e
2
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AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
CD
=2
e
1
-
e
2
,且A,B,D三點共線,則實數(shù)k=
-8
-8

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