Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，依題意設(shè)橢圓方程為：，把點(diǎn)（4，1）代入，得b²=5，
∴橢圓方程為．（5分）
（2）把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5．（10分）
分析：（1）由橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為=，可求得=，可設(shè)橢圓的方程為：，再把
點(diǎn)M（4，1），代入即可；
（2）把y=x+m代入橢圓方程，整理，利用△＞0即可求得m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，著重考查待定系數(shù)法求橢圓的方程及方程思想與化歸思想，屬于中檔題．