已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.
分析:(1)把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而求得圓心和半徑,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)題設(shè)得方程組求得a和b,則橢圓的方程可得.
(2)跟橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求得|F2C|小于圓的半徑,判斷出F2在圓C內(nèi),過F2沒有圓C的切線,設(shè)直線的方程,求得點(diǎn)C到直線l的距離進(jìn)而求得k,則直線方程可得.
解答:解:(1)圓C方程化為:(x-2)2+(y+
2
2=6,圓心C(2,-
2
),半徑r=
6

設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),則
4
a2
+
2
b2
=1
1-(
b
a
)2=(
2
2
)2
?
a2=8
b2=4

所以所求的橢圓的方程是:
x2
8
+
y2
4
=1.
(2)由(1)得到橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
|F2C|=
(2-2)2+(0+
2)
2
=
2
6

∴F2在C內(nèi),故過F2沒有圓C的切線,設(shè)l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0
點(diǎn)C(2,-
2
)到直線l的距離為d=
|2k+
2
+2k|
1+k2
,由d=
6
|2k+
2
+2k|
1+k2
=
6

解得:k=
2
5
或k=-
2
,故l的方程為
2
x-5y+2
2
=0或
2
x+y+2
2
=0
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知橢圓的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
1011
,求橢圓的方程.

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已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,左焦點(diǎn)為F1(-3,0),右準(zhǔn)線方程為x=
253

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e;
(2)設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,求△PF1F2的面積.

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已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F1(0,-2
2
),且離心率e滿足:
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A,B.求△AOB的面積.

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