Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)與有相同極值點，
①求實數(shù)的值；
②若對于（為自然對數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1），      
由得；由得.
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).       
函數(shù)的最大值為.     
（2）.
①由（1）知，是函數(shù)的極值點，
又函數(shù)與有相同極值點，是函數(shù)的極值點，
，解得.       
經(jīng)驗證，當(dāng)時，函數(shù)在時取到極小值，符合題意. 
②，
易知，即.
.     
由①知.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
，
而.
.  
當(dāng)，即時，對于，不等式恒成立.
，
.       
當(dāng)，即時，對于，不等式恒成立.
，
.
綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.       
點評：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。