Question

已知A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等腰直角三角形，記∠AOC=α．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），求的值；
（2）求|BC|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A的坐標(biāo)求出tanα的值，然后把所求式子的分子第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，分母第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，然后分子分母同時(shí)除以cos²α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化為關(guān)于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值；
（2）由A和B都為單位圓上的點(diǎn)，且C為單位圓與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)∠AOC=α，且三角形AOB為等腰直角三角形，分別表示出A，B及C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|BC|，利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把被開方數(shù)化簡(jiǎn)后，根據(jù)A為第一象限的點(diǎn)得出α的范圍，進(jìn)而得出sinα的范圍，即可得出|BC|的范圍．
解答：解：（1）由已知可得：tanα===，（2分）
則=（4分）
=（6分）
==20；

（2）根據(jù)題意得：A=（cosα，sinα），B=（cos（），sin（）），且C（1，0），
∴|BC|==，（8分）
∵A，B分別在第一、第二象限，且α∈（0，），
∴sinα∈（0，1），
∴|BC|的范圍是（，2）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，以及正弦函數(shù)的值域，涉及的知識(shí)有三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，根據(jù)題意表示出三點(diǎn)的坐標(biāo)是解第二小問的關(guān)鍵．