【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,若對任意恒成立,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點和,求的取值范圍,并證明:.
【答案】(1); (2)見解析.
【解析】
(1),由已知得,問題轉(zhuǎn)化為,,求,通過判斷,得出單調(diào)性,以及,求出單調(diào)區(qū)間的極值,最值,進(jìn)而求出結(jié)論;
(2),,時,,至多一個零點,不成立;時,求出單調(diào)區(qū)間,極值,分析函數(shù)值的變化趨勢,求得由兩個零點時,,,設(shè),并滿足,可得,令,則,即,要證,等價轉(zhuǎn)化為證明,設(shè),通過求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo),可證在上單增,即可證明結(jié)論.
(1)令,當(dāng)時,.
若對任意恒成立,即為
∵,,
∴在上單調(diào)遞增,又,
∴時,,在上單調(diào)遞減;
時,, 在上單調(diào)遞增,
∴,∴.
(2),,
時,,在上單增,至多一個零點,不成立;
時,由得,
在上單減,在上單增.
時,;時,,
要存在兩零點只需,即,得.
不妨設(shè),由得,
令,則,即,而
(*)
令,,
令,,
∴在上單增,,
∴,在上單增,
,故(*)成立,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,邊,,所在直線的方程分別為,,.
(1)求邊上的高所在的直線方程;
(2)若圓過直線上一點及點,當(dāng)圓面積最小時,求其標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)題的答案:記集合.例如:,若將集合的各個元素之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為____________;
定義現(xiàn)指定,將集合的元素從小到大排列組成數(shù)列,若將的各項之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)圖書館舉行高中志愿者檢索圖書的比賽,從高一、高二兩個年級各抽取10名志愿者參賽。在規(guī)定時間內(nèi),他們檢索到的圖書冊數(shù)的莖葉圖如圖所示,規(guī)定冊數(shù)不小于20的為優(yōu)秀.
(Ⅰ) 從兩個年級的參賽志愿者中各抽取兩人,求抽取的4人中至少一人優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ) 從高一10名志愿者中抽取一人,高二10名志愿者中抽取兩人,3人中優(yōu)秀人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)等比數(shù)列中,首項為 ,其前n項和是,且成等差數(shù)列,數(shù)列滿足條件
(Ⅰ) 求數(shù)列、的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) ,記數(shù)列的前項和 .
①求 ;②求正整數(shù),使得對任意,均有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑,圓柱的表面積為;點在底面圓上,且直線與下底面所成的角的大小為,
(1)求點到平面的距離;
(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
某學(xué)校高一數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)生每周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分,不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們從本校初二,初三,高一,高二,高三年級各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄并整理了這些學(xué)生周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù),得到如下數(shù)據(jù)表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均體育鍛煉小時數(shù)工(單位:小時) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
體育成績優(yōu)秀人數(shù)y(單位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
(1)若選取的是初三,高一,高二的3組數(shù)據(jù),請根據(jù)這3組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某電器銷售公司2018年度各類電器營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表:
空調(diào)類 | 冰箱類 | 小家電類 | 其它類 | |
營業(yè)收入占比 | ||||
凈利潤占比 |
則下列判斷中不正確的是( )
A. 該公司2018年度冰箱類電器營銷虧損
B. 該公司2018年度小家電類電器營業(yè)收入和凈利潤相同
C. 該公司2018年度凈利潤主要由空調(diào)類電器銷售提供
D. 剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后,該公司2018年度空調(diào)類電器銷售凈利潤占比將會降低
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