Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823191424862585.gif" style="vertical-align:middle;" />，且滿足條件：①，②③當(dāng).
（1）求證：函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求不等式的解集

Answer 1

解：（1）在①中令x="y=1," 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,
令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,
再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)為偶函 數(shù)；
（2）在①中令
先討論上的單調(diào)性， 任取x₁http:///x₂，設(shè)x₂>x₁>0，

由③知：>0，∴f(x₂)>f(x₁)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ，∴f(x)在（－∞，0）上是減函數(shù)；
（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，
1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上為減函數(shù)；
由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 
∴原不等式的解集為：

略