Question

如圖：PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BDE中三條已知直線與AE都不平行，故我們要考慮在平面BDE中做一條與PA可能平行直線輔助線，然后再進(jìn)行證明．
（2）要證明平面BDP⊥平面PBC，我們關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線，觀察圖形，在平面PBC中，BC可能與平面BDP垂直，故可以其為切入點(diǎn)進(jìn)行證明．
（3）要求二面角的余弦，要先構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個(gè)平面角的余弦值，進(jìn)而給出二面角的余弦值．
我們也可以構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求出相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解．

解答：解法一：
證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
（Ⅰ）A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2）
E(0，

2

3

，

4

3

)

BE

=(-1，-

1

3

，

4

3

)，

DB

=(1，1，0)，

PA

=(1，0，-2)
設(shè)

PA

=x

BE

+y

DB

，
可得

PA

=-

3

2

BE

-

1

2

DB

因?yàn)镻A?平面BDE，
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BC

=(-1，1，0)，

DB

=(1，1，0)
所以

BC

•

DB

=0BC⊥BD
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以BC⊥PD
所以BC⊥平面PBD，
所以平面BDP⊥平面PBC．
（Ⅲ）因?yàn)锳D⊥DC，AD⊥PD
所以

DA

是平面PDC的法向量，

DA

=(1，0，0)，設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(x，y，1)，
由

n

•

BC

=0，

n

•

PC

=0得：

n

=(1，1，1)，
設(shè)二面角B-PC-D為θ，則cosθ=

3

3

所以二面角B-PC-D余弦值為

3

3

．

解法二：
（Ⅰ）連接AC交BD于G，連接EG，
∵AB∥CD
∴

AG

GC

=

AB

CD

=

1

2

，由已知

PE

EC

=

1

2

，
得

AG

GC

=

PE

EC

，
∴PA∥EG，
∵EG?平面DEG，PA∉平面DEG
∴PA∥平面DEG．

（Ⅱ）由已知可得，BD=

2

，取CD的中點(diǎn)O，連接BO，ABOD為正方形，
OB=OC=1，BC=

2

，所以BD²+BC²=CD²由勾股定理的逆定理知BC⊥BD，
因?yàn)锽C⊥PD，所以BC⊥平面BDP，所以平面BDP⊥平面PBC
（Ⅲ）BO⊥CD，BO⊥PD，所以BO⊥平面PDC，BO⊥PC
在平面PDC內(nèi)作OM⊥PC交PC于點(diǎn)M，
所以PC⊥平面BOM
連接BM，BM⊥PC，∠BMO是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△BMO中，OB=1，OM=OCsin∠DCP=

2

2

，BM=

6

2

cos∠BMO=

OM

BM

=

2 2

6 2

=

3

3

，
所以二面角B-PC-D余弦值為

3

3

點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．