Question

【題目】已知函數(shù)對于任意的都有，當時，則且

（1）判斷的奇偶性；

（2）求在上的最大值；

（3）解關于的不等式.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

(2)6.

(3)見解析.

【解析】

分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=﹣x代入即可；

（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值；

（3）由于f（x）為奇函數(shù)，整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；再由函數(shù)的單調(diào)性可得ax2﹣2x＞ax﹣2，從而求解．

詳解：（1）取x=y=0，

則f（0+0）=f（0）+f（0）；

則f（0）=0；

取y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立

∴f（x）為奇函數(shù)；

（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，則x2﹣x1＞0；

∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），

又∵f（x）為奇函數(shù)

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)；

∴對任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）

而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；

∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；

∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值為6；

（3）∵f（x）為奇函數(shù)，

∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；

即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；

而f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，

∴ax2﹣2x＞ax﹣2；

∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．

∴當a=0時，x∈（﹣∞，1）；

當a=2時，x∈{x|x≠1且x∈R}；

當a＜0時，；

當0＜a＜2時，

當a＞2時，．