【題目】以橢圓的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.

1)求橢圓及其準(zhǔn)圓的方程;

2)若橢圓準(zhǔn)圓的一條弦與橢圓交于兩點(diǎn),試證明:當(dāng)時(shí),弦的長為定值.

【答案】1,;(2)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)求得,再結(jié)合可得以及,即可解出,從而求出橢圓及其準(zhǔn)圓的方程;

2)先由弦軸時(shí),求出原點(diǎn)到弦的距離,然后再證明弦不垂直于軸時(shí),原點(diǎn)到弦的距離也為,根據(jù)弦長公式即可得到,即弦的長為定值.

1)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn),

,即,

,所以

則所求的橢圓的方程為,

橢圓準(zhǔn)圓方程為.

2)證明:①當(dāng)弦軸時(shí),交點(diǎn)關(guān)于軸對稱,

,則,

可設(shè),

此時(shí)原點(diǎn)到弦的距離

②當(dāng)弦不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的方程為

且與橢圓的交點(diǎn),

聯(lián)列方程組

代入消元得:,

,

可得,

,所以

此時(shí)成立,

則原點(diǎn)到弦的距離,

綜上得,原點(diǎn)到弦的距離為,則,因此弦的長為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知,函數(shù)

討論的單調(diào)性;

的極值點(diǎn),且曲線在兩點(diǎn) 處的切線相互平行,這兩條切線在軸上的截距分別為,求的取值范圍

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;

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【題目】已知依次滿足

(1)求點(diǎn)的軌跡;

(2)過點(diǎn)作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)到軸的距離為,且直線與點(diǎn)的軌跡相切,求該橢圓的方程;

(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,是否存在橢圓上的點(diǎn)及以為圓心的一個(gè)圓,使得該圓與直線都相切,如存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程,如不存在,請說明理由.

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【題目】邊長為的等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值,這個(gè)定值等于;將這個(gè)結(jié)論推廣到空間是:棱長為的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和等于________________.(具體數(shù)值)

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討論函數(shù)的單調(diào)性;

設(shè),對任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;

求證:當(dāng)時(shí),

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某校舉行的航天知識(shí)競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含的同學(xué)獲獎(jiǎng). 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本得到成績的頻率分布直方圖(見下圖).

(1)的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過的把握認(rèn)為獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)?

文科生

理科生

合計(jì)

獲獎(jiǎng)

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)

附表及公式:

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:

1)求頻率分布直方圖中的值;

2)根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) (保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字)和眾數(shù);

3)從成績在的學(xué)生中任選3人,求這3人的成績都在中的概率.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若,證明:;

(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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