Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）求證f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）在[-2，1]上的值域．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）為R上的奇函數(shù)，
（3）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞0
∴f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為奇函數(shù)
∴f（1）=-f（-1）=2，f（-2）=2f（-1）=-4
∵f（x）為R上的增函數(shù)，
∴當-2≤x≤1時，f（-2）≤f（x）≤f（1），
即函數(shù)在[-2，1]上的值域為[-4，2]
分析：（1）取x=y=0，即可證得f（0）=0；
（2）取y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），再結合（1）中f（0）=0，得到f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）為R上的奇函數(shù)；
（3）利用單調性的定義，可以證出f（x）為R上的增函數(shù)．再結合函數(shù)為奇函數(shù)，不難得到函數(shù)的值域為[-4，2]．
點評：本題以抽象函數(shù)為例，求函數(shù)的單調性的奇偶性，著重考查了函數(shù)的簡單性質和函數(shù)的值域求法等知識點，屬于中檔題．