若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).
分析:(1)根據(jù)新定義得到不等式|x2-1|<3,然后求出x的范圍即可.
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,依據(jù)新定義寫出不等式,利用作差法證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)依據(jù)新定義寫出函數(shù)f(x)的解析式,f(x)=
1+sinxx∈(2kπ-π,2kπ)
1-sinxx∈(2kπ,2kπ+π)
 =1-|sinx|,x≠kπ

直接寫出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性,即可.
解答:解:(1)|x2-1|<3,0≤x2<4,-2<x<2
x∈(-2,2);
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,
a2b+ab2>2ab
ab
a3+b3>2ab
ab
,
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|a2b+ab2-2ab
ab
|-|a3+b3-2ab
ab
|=-(a+b)(a-b)2<0,
所以|a2b+ab2-2ab
ab
|<|a3+b3-2ab
ab
|
,
即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)f(x)=
1+sinxx∈(2kπ-π,2kπ)
1-sinxx∈(2kπ,2kπ+π)
 =1-|sinx|,x≠kπ

k∈Z,f(x)是偶函數(shù),f(x)是周期函數(shù),
最小正周期T=p,函數(shù)f(x)的最小值為0,
函數(shù)f(x)在區(qū)間[kπ-
π
2
,kπ)
單調(diào)遞增,
在區(qū)間(kπ,kπ+
π
2
]
單調(diào)遞減,k∈Z.
點(diǎn)評(píng):本題是新定義題目,直線審題是能夠解題的根據(jù),新定義問(wèn)題,往往是結(jié)合相關(guān)的知識(shí),利用已有的方法求出所求結(jié)果.注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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(Ⅱ)①對(duì)任意x>0,證明:ln(1+x)比x靠近0;②已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+21-n,證明:a1a2a3…an<2e.

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(2012•煙臺(tái)一模)若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠(yuǎn)離m.若x2-1比1遠(yuǎn)離0,則x的取值范圍是
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)

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若實(shí)數(shù)x,y,m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y更接近m.
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ab

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