【題目】已知橢圓C:的左焦點為F(﹣1,0),離心率為,過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】1;(Ⅱ)(,0)
【解析】
(Ⅰ)由題意可知:c=1,a2=b2﹣c2,e,由此求出橢圓的方程.(II)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),聯(lián)立方程,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0.由直線AB過橢圓的左焦點F,記A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點N(x0,y0),x1+x2,x0,垂直平分線NG的方程為y﹣y0,由此能求出點G橫坐標(biāo)的取值范圍.
(Ⅰ)由題意可知:c=1,a2=b2﹣c2,e
解得:a,b=1
故橢圓的方程為:1
(II)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),
與橢圓聯(lián)立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0
∵直線AB過橢圓的左焦點F∴方程有兩個不等實根.
記A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點N(x0,y0)
則x1+x2
x0
垂直平分線NG的方程為y﹣y0,
令y=0,得xG=x0+ky0
.
∵k≠0,∴0
∴點G橫坐標(biāo)的取值范圍為(,0).
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】定義:對于實數(shù)和兩定點,在某圖形上恰有個不同的點,使得,稱該圖形滿足“度契合”.若邊長為4的正方形中,,且該正方形滿足“4度契合”,則實數(shù)的取值范圍是__________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點的距離,記點P的軌跡為,給出下列四個結(jié)論:①關(guān)于原點對稱;②關(guān)于直線對稱;③直線與有無數(shù)個公共點;④在第一象限內(nèi),與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于.其中正確的結(jié)論是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
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【題目】某海濕地如圖所示,A、B和C、D分別是以點O為中心在東西方向和南北方向設(shè)置的四個觀測點,它們到點O的距離均為公里,實線PQST是一條觀光長廊,其中,PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里,QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等,ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里,以O為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.
(1)求觀光長廊PQST所在的曲線的方程;
(2)在觀光長廊的PQ段上,需建一服務(wù)站M,使其到觀測點A的距離最近,問如何設(shè)置服務(wù)站M的位置?
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【題目】已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點,為橢圓上的兩點(異于),連結(jié),且斜率是斜率的倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線恒過定點.
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【題目】某公司推出一新款手機,因其功能強大,外觀新潮,一上市便受到消費者爭相搶購,銷量呈上升趨勢.散點圖是該款手機上市后前6周的銷售數(shù)據(jù).
(Ⅰ)根據(jù)散點圖,用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該款手機第8周的銷量;
(Ⅱ)為了分析市場趨勢,該公司市場部從前6周的銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取2周的數(shù)據(jù),求抽到的這2周的銷量均在20萬臺以下的概率.
參考公式:回歸直線方程,其中:,.
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【題目】如圖,一塊長方形區(qū)域,,,在邊的中點處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角始終為,設(shè),探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)時,求的最大值.
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【題目】已知四邊形,點為線段的中點,且 . , .現(xiàn)將△沿進(jìn)行翻折,使得 °,得到圖形如圖所示,連接.
(Ⅰ)若點在線段上,證明: ;
(Ⅱ)若點為的中點,求點到平面的距離.
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