【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.

1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);

2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.

【答案】1)見解析;(2

【解析】試題分析:(1)容易知道所圍成正方形的邊長為10,再結(jié)合長方體各邊的長度,即可找出正方形的位置,從而畫出這個(gè)正方形;

2)分別以直線DA,DCDD1x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,考慮用空間向量解決本問,能夠確定AH,EF幾點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)平面EFGH的法向量為,根據(jù)即可求出法向量坐標(biāo)可以求出,可設(shè)直線AF與平面EFGH所成角為θ,由sinθ=即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值.

解:(1)交線圍成的正方形EFGH如圖:

2)作EM⊥AB,垂足為M,則:

EH=EF=BC=10,EM=AA1=8

,∴AH=10

以邊DA,DCDD1所在直線為x,yz軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則:

A10,00),H1010,0),E10,4,8),F0,48);

;

設(shè)為平面EFGH的法向量,則:

,取z=3,則

若設(shè)直線AF和平面EFGH所成的角為θ,則:

sinθ==

直線AF與平面α所成角的正弦值為

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