設(shè)P是直線y=x+4上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的橢圓的焦點(diǎn)為F1（2，0），F(xiàn)2（-2，0），則當(dāng)橢圓長(zhǎng)軸最短時(shí)，橢圓的方程為=1
．
【答案】分析：設(shè)橢圓方程為=1，依題意可得c的值，進(jìn)而求得b與a的關(guān)系，將直線方程代入橢圓方程得到一個(gè)二次方程．因直線與橢圓有交點(diǎn)，可知△≥0進(jìn)而求出a的取值范圍，進(jìn)而求出a的最小值，求出此時(shí)的橢圓方程．
解答：解：設(shè)橢圓方程為=1
∵c=2，∴b2=a2-c2=a2-4
將直線方程y=x+4代入橢圓方程為=1
（a2-4）x2+a2（x2+8x+16）=a2（a2-4）
即（2a2-4）x2+8a2x+20a2-a4=0
∵直線與橢圓有公共點(diǎn)
∴△=（8a2）2-4（2a2-4）（20a2-a4）
=4a2[16a2-（40a2-2a4-80-4a2）]
=4a2（2a4-28a2+80）
=8a2（a2-10）（a2-4）≥0
∵a2＞c2=4，∴a2≥10，當(dāng)a2=10時(shí)，b2=a2-4=6
∴長(zhǎng)軸最短的橢圓方程為=1
故答案為：=1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓與直線的問題．用方程解的情況來判斷，從方程角度看，主要是一元二次方程根的判別式△≥0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是直線y=x+4上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的橢圓的焦點(diǎn)為F1（2，0），F(xiàn)2（-2，0），則當(dāng)橢圓長(zhǎng)軸最短時(shí)，橢圓的方程為
x2
10
+
y2
6
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)S過點(diǎn)T（0，2）且被x軸截得的弦CD長(zhǎng)為4．
（1）求動(dòng)圓圓心S的軌跡E的方程；
（2）設(shè)P是直線l：y=x-2上任意一點(diǎn)，過P作軌跡E的切線PA，PB，A，B是切點(diǎn)，求證：直線AB恒過定點(diǎn)M；
（3）在（2）的條件下，過定點(diǎn)M作直線：y=x-2的垂線，垂足為N，求證：MN是∠ANB的平分線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Q是直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過Q作x軸的垂線l，過O作直線OQ的垂線交直線l于P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）過點(diǎn)A（-2，4）作圓B：x2+（y-2）2=1的兩條切線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，試判斷直線MN與圓B的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是直線l：x+y=4上任意一點(diǎn)，Q是圓C：x2+y2-4x+3=0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為
2
-1
2
-1
．

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