Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），滿足f′（x）＜f（x），f（2+x）=f（2-x），f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A、（-2，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意知，f（0）=1，再令g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），從而求導(dǎo)g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，從而可判斷y=g（x）單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（4）=f（0）=1；
設(shè)g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），則g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
又∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0；
∴y=g（x）單調(diào)遞減，
而當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=

f(0)

e0

=1；
故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜1，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＞1，
故當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜e^x；
故不等式的解集為（0，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．