(本小題滿分12分)
如圖,都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,
平面平面,平面.
(1)求點(diǎn)到平面的距離;
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.
(1)(2)
解法一:(1)等體積法.


CD中點(diǎn)O,連OB,OM,則OB=OM=,OBCD,MOCD
又平面平面,則MO⊥平面,所以MOABMO∥平面ABCM、O到平面ABC的距離相等.
OHBCH,連MH,則MHBC
求得OH=OC=
MH=
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,由

解得
(2)延長(zhǎng)AM、BO相交于E,連CE、DE,CE是平面與平面的交線.
由(1)知,OBE的中點(diǎn),則BCED是菱形.
BFECF,連AF,則AFEC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,設(shè)為.
因?yàn)椤?i>BCE=120°,所以∠BCF=60°.
,
,.
則所求二面角的正弦值為
解法二:取CD中點(diǎn)O,連OB,OM,則
OBCD,OMCD.又平面平面,則MO⊥平面.
O為原點(diǎn),直線OCBO、OMx軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(1,0,0),M(0,0,),B(0,,0),A(0,-,).
(1)設(shè)是平面MBC的法向量,則,.
;

,則

(2),.
設(shè)平面ACM的法向量為,由解得,,取.又平面BCD的法向量為.
所以,
設(shè)所求二面角為,則.
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