(本小題滿分13分)
如圖,直三棱柱A1B1C1-ABC中,C1C=CB=CA=2,ACCBD、E分別為棱C1CB1C1的中點.
(Ⅰ)求A1B與平面A1C1CA所成角的大;
(Ⅱ)求二面角B-A1D-A的大;
(Ⅲ)試在線段AC上確定一點F,使得EF⊥平面A1BD
,,線段AC的中點F
解:(Ⅰ)連接A1C.∵A1B1C1ABC為直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1BC.

ACCB,∴BC⊥平面A1C1CA.
與平面A1C1CA所成角,.
與平面A1C1CA所成角為.
(Ⅱ)分別延長AC,A1D交于G. 過CCMA1GM,連結BM,
BC⊥平面ACC­1A1,∴CMBM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,
BMA1G,∴∠CMB為二面角BA1DA的平面角,
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,DC1C的中點,
CG=2,DC="1" 在直角三角形CDG中,.
即二面角BA1DA的大小為.
(Ⅲ)取線段AC的中點F,則EF⊥平面A1BD.
證明如下:
A1B1C1ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC,
∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,
EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,當FAC的中點時,
C1FA1D,∴EFA1D.
同理可證EFBD,∴EF⊥平面A1BD.
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)∵A1B1C1ABC為直三棱柱,C1C=CB=CA=2,
ACCBD、E分別為C1C、B1C1的中點.
建立如圖所示的坐標系得:
C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),
C1(0,0,2), B1(2,0,2), A­1(0,2,2),
D(0,0,1), E(1,0,2).
,設平面A1BD的法向量為,
 .
平面ACC1A1­的法向量為=(1,0,0),.
即二面角BA1DA的大小為.
(Ⅲ)FAC上的點,故可設其坐標為(0,,0),∴.
由(Ⅱ)知是平面A1BD的一個法向量,
欲使EF⊥平面A1BD,當且僅當//.
,∴當FAC的中點時,EF⊥平面A1BD.
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