在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0),且a>0,b>0.
(1)若點(diǎn)A,B,C在直線L上,求u=
1
a
+
2
b
的最小值,并求此時(shí)直線L的方程;
(2)若以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)相等,且
OA
•(
AB
-
AC
)=5 求a,b的值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)若A,B,C在直線L上,利用向量共線可以得到a,b的一個(gè)方程,u的最小值可以利用基本不等式求解,等號(hào)成立的條件又可得到一個(gè)a,b的方程,聯(lián)立可求出a,b,進(jìn)而利用兩點(diǎn)式寫出直線L的方程;
(2)由條件得AB⊥AC,利用向量的內(nèi)積為0可得到a,b的一個(gè)方程,再利用
OA
•(
AB
-
AC
)=5,代入坐標(biāo)得到一個(gè)關(guān)于a,b的方程,聯(lián)立可解出a,b.
解答: 解:(1)若A,B,C在直線L上,
AB
=(a-1,1)
,
AC
=(-b-1,2)

∴(a-1)×2-(-b-1)×1=0
即2a+b=1,
∵a>0,b>0,u=
1
a
+
2
b
=(
1
a
+
2
b
)×(2a+b)=
b
a
+
4a
b
+4≥8,
當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
4a
b
時(shí)等號(hào)成立,即2a=b,
∵2a+b=1,∴a=
1
4
,b=
1
2

∴u的最小值為8,
∴由兩點(diǎn)式得:
y-(-2)
0-(-2)
=
x-1
-
1
2
-1
,整理得:4x+3y+2=0.
∴直線L的方程為:4x+3y+2=0.
(2)由條件得AB⊥AC,所以
AB
AC
=0
,
AB
=(a-1,1),
AC
=(-b-1,2)

∴ab+a-b-3=0,-----------①
OA
•(
AB
-
AC
)=5
,∴a+b-3=0,------②
由①②得,a=2,b=1或a=3,b=0(舍去)
∴a=2,b=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了向量的運(yùn)算及應(yīng)用,以及求最值的方法,主要考查了方程思想,根據(jù)條件運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建方程組是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐A-BCD中,二面角A-BC-D的余弦值等于( 。
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

3
i
等于( 。
A、-3i
B、-
3
2
i
C、i
D、-i

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知左焦點(diǎn)為F1(-2
2
,0)的橢圓過(guò)點(diǎn)(
3
2
2
,
2
2
),過(guò)上頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的動(dòng)弦AP,AQ交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)弦AP所在直線的斜率為1,求直角三角形APQ的面積;
(3)試問(wèn)動(dòng)直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)給出證明,并求出該定點(diǎn);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知?jiǎng)訄AM與直線l:x=-
1
2
相切且與圓F:(x-1)2+y2=
1
4
外切.
(1)求圓心M的軌跡C方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)D(m,0)(m>0)作直線l交軌跡C于A,B兩點(diǎn),E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求證:∠AED=∠BED.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能情況,從本市某高中畢業(yè)班中抽取了一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試,成績(jī)?cè)?.0米(精確到0.1米)以上的為合格,把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成六組畫(huà)出頻率分布直方圖的一部分,如圖,已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第六小組的頻數(shù)是7.
(1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù);
(2)若從第一小組和第二小組中隨機(jī)抽取兩個(gè)人的測(cè)試成績(jī),則兩個(gè)人的測(cè)試成績(jī)來(lái)自同一小組的概率是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(
6
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作斜率為2直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的長(zhǎng).

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已知點(diǎn)(4,-4)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn),|AB|=8,線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)G.
(Ⅰ)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若線段AB的中點(diǎn)為H,求△FGH的外接圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)y=3mx2-(2m+6)x+m+3在(-∞,1)上單減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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