Question

已知函數(shù)f（x）=

5x-1

5x+1

．
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）由于 5^x＞0 恒成立，故函數(shù)函數(shù)f（x）=

5x-1

5x+1

 恒有意義．
（2）由于f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．
 （3）f（x）變形為 1-

2

5x+1

，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得0＜

2

5x+1

＜2，進(jìn)而可得-1＜1-

2

5x+1

＜1，得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由于 5^x＞0 恒成立，故函數(shù)函數(shù)f（x）=

5x-1

5x+1

 恒有意義，故此函數(shù)的定義域?yàn)?R．
（2）由于f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．
（3）f（x）=

5x+1-2

5x+1

=1-

2

5x+1

，因?yàn)?^x＞0，所以，5^x+1＞1，即0＜

2

5x+1

＜2，
即-2＜-

2

5x+1

＜0，即-1＜1-

2

5x+1

＜1，所以，f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的定義域、值域的方法，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，
函數(shù)解析式的變形是解題的關(guān)鍵．