Question

已知函數(shù)f（x）=

5+2x

16-8x

，設正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=l，a_n+1=f（a_n）．
（I）寫出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）試比較a_n與

5

4

的大小，并說明理由；
（Ⅲ）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=

5

4

-a_n，記S_n=

n

i=1

bi．證明：當n≥2時，S_n＜

1

4

（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析：（I）把a_n代入函數(shù)解析式得到數(shù)列的遞推式，根據(jù)數(shù)列的遞推式和a₁的值求得a₂，a₃的值．
（Ⅱ）根據(jù)a_n＞0，a_n+1＞0，推斷出16-8a_n＞0，0＜a_n＜2．進而求得an+1-

5

4

=

3

2

•

an- 5 4

2-an

根據(jù)2-a_n＞0，判斷出an+1-

5

4

與an-

5

4

同號，進而根據(jù)a1-

5

4

=-

1

4

＜0，a2-

5

4

＜0，a3-

5

4

＜0，，an-

5

4

＜0，推斷出an＜

5

4

.
（Ⅲ）根據(jù)（2）中的結論以及數(shù)列的遞推式求得b_n=

5

4

-a_n＜2b_n-1，進而可遞推出b_n＜2•b_n-1＜2²•b_n-2＜…＜2^n-1b₁=2^n-3，進而利用等比數(shù)列的求和公式求得Sn=b1+b2++bn＜

1

4

+

1

2

++(

1

2

)3-n，證明原式．

解答：解：（I）an+1=

5+2an

16-8an

，因為a₁=1，
所以a2=

7

8

，a3=

3

4

.
（Ⅱ）因為a_n＞0，a_n+1＞0，
所以16-8a_n＞0，0＜a_n＜2．
an+1-

5

4

=

5+2an

16-8an

-

5

4

=

48(an- 5 4 )

32(2-an)

=

3

2

•

an- 5 4

2-an

，
因為2-a_n＞0，
所以an+1-

5

4

與an-

5

4

同號，
因為a1-

5

4

=-

1

4

＜0，a2-

5

4

＜0，a3-

5

4

＜0，，an-

5

4

＜0，即an＜

5

4

.
（Ⅲ）當n≥2時，bn=

5

4

-an=

3

2

•

1

2-an-1

•(

5

4

-an-1)=

3

2

•

1

2-an-1

•bn-1＜

3

2

•

1

2- 5 4

•bn-1=2bn-1，
所以b_n＜2•b_n-1＜2²•b_n-2＜…＜2^n-1b₁=2^n-3，
所以Sn=b1+b2++bn＜

1

4

+

1

2

++(

1

2

)3-n=

1 4 (1-2n)

1-2

=

1

4

(2n-1)

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查了數(shù)列的遞推式的應用．數(shù)列的遞推式是高考中常考的題型，平時應注意多訓練．