【題目】如圖,正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中點(diǎn).

(I)求證:EM⊥AD;
(II)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值;
(III)在線段EC上是否存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為45°,若存在,求出 的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)證明:∵EA=EB,M是AB的中點(diǎn),∴EM⊥AB,
∵平面ABE⊥平面ABCD,
平面ABE∩平面ABCD=AB,EA平面ABE,
∴EM⊥平面ABCD,AD平面ABCD,
∴EM⊥AD.
(Ⅱ)解:∵EM⊥平面ABCD,∴EM⊥MC,∵△ABC是正三角形,
∴MC⊥AB.∴MB、MC、ME兩兩垂直.
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz.

則M(0,0,0),A(﹣1,0,0),B(1,0,0),C(0, ,0),E(0,0, ),
=(﹣1, ,0), =(﹣1,0, ),
設(shè) =(x,y,z)是平面BCE的一個(gè)法向量,
,
令z=1,得 =( ),
∵y軸與平面ABE垂直,∴ =(0,1,0)是平面ABE的一個(gè)法向量.
cos< >= = = ,
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值為
(III)假設(shè)在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為45°.
=(1,0, ), =(0, ),
設(shè) = =(0 ,﹣ ),(00≤λ≤1),
= ,
∵直線AP與平面ABE所成的角為45°,
∴sin45°=|cos< >|= = = ,
由0≤λ≤1,解得 ,
∴在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為45°,且 =
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出EM⊥AB,從而EM⊥平面ABCD,由此能證明EM⊥AD.(Ⅱ)推導(dǎo)出EM⊥MC,MC⊥AB,從而MB、MC、ME兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值.(III)求出 和平面ABE的法向量,利用向量法能示出在線段EC上存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為45°,且 =
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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除夕18時(shí)PM2.5濃度

初一2時(shí)PM2.5濃度

北京

75

647

天津

66

400

石家莊

89

375

廊坊

102

399

太原

46

115

上海

16

17

南京

35

44

杭州

131

39

(Ⅰ)求這8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中PM2.5濃度的平均值;
(Ⅱ)環(huán)保部門(mén)發(fā)現(xiàn):除夕18時(shí)到初一2時(shí)空氣中PM2.5濃度上升不超過(guò)100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市,濃度上升超過(guò)100的城市都未禁止燃放煙花爆竹.從以上8個(gè)城市中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專(zhuān)家進(jìn)行調(diào)研,記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量y的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)記2017年除夕18時(shí)和初一2時(shí)以上8個(gè)城市空氣中PM2.5濃度的方差分別為s12和s22 , 比較s12和s22的大小關(guān)系(只需寫(xiě)出結(jié)果).

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(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n(n∈N*),判斷數(shù)列{an}是否為“G數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“G數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

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