【題目】四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,.,且平面,,點分別是線段上的中點,在上.且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面的成角的正弦值;
(Ⅲ)請畫出平面與四棱錐的表面的交線,并寫出作圖的步驟.
【答案】(1)見解析(2)(3)四邊形為平面與四棱錐的表面的交線
【解析】分析:(Ⅰ)推導(dǎo)出,由此能證明平面;
(Ⅱ)推導(dǎo)出,,,以O(shè)為原點,OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息,利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值;
(Ⅲ)法1:延長分別交延長線于,連接,發(fā)現(xiàn)剛好過點,,連接,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
法2:記平面與直線的交點為,設(shè),,利用向量法求出,從而即為點.連接,,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
解析:解:(Ⅰ)在中,因為點分別是線段上的中點,
所以
因為平面,平面.
所以平面.
(Ⅱ)因為底面是邊長為2的菱形,
所以,
因為平面,
所以,,
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則依題意可得
,,,,,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則由可得,
令,可得
因為.
所以直線與平面的成角的正弦值為
(Ⅲ)法Ⅰ:延長分別交延長線于,連接,發(fā)現(xiàn)剛好過點,,連接,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
法2:記平面與直線的交點為,設(shè),則
由,可得.
所以即為點.
所以連接,,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,滿足,,,且.若存在,使得成立,則實數(shù)的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍;
(2)設(shè),若函數(shù)在區(qū)間恒有意義,求實數(shù)的取值范圍;
(3)已知方程在有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個定點,, 動點滿足,設(shè)動點的軌跡為曲線,直線:.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線交于不同的、兩點,且 (為坐標(biāo)原點),求直線的斜率;
(3)若,是直線上的動點,過作曲線的兩條切線、,切點為、,探究:直線是否過定點,若存在定點請寫出坐標(biāo),若不存在則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由于研究性學(xué)習(xí)的需要,中學(xué)生李華持續(xù)收集了手機“微信運動”團隊中特定20名成員每天行走的步數(shù),其中某一天的數(shù)據(jù)記錄如下:
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
對這20個數(shù)據(jù)按組距1000進行分組,并統(tǒng)計整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:
步數(shù)分組統(tǒng)計表(設(shè)步數(shù)為)
組別 | 步數(shù)分組 | 頻數(shù) |
2 | ||
10 | ||
2 | ||
(Ⅰ)寫出的值,并回答這20名“微信運動”團隊成員一天行走步數(shù)的中位數(shù)落在哪個組別;
(Ⅱ)記組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為,,組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為,,試分別比較與以,與的大。(只需寫出結(jié)論)
(Ⅲ)從上述兩個組別的數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù),記這2個數(shù)據(jù)步數(shù)差的絕對值為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,點、、均在拋物線上.
(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補時,求的值及直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)的一條對稱軸是;
②函數(shù)的圖象關(guān)于點(,0)對稱;
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)
④若,則,其中
以上四個命題中正確的有 (填寫正確命題前面的序號)
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