已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

（1）；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關系列出方程組，解得的值；（2）由右準線方程設出點坐標，由垂直的充要條件得，表達出，將點代入橢圓中，即，代入中，化簡得常數(shù)；（3）設出點，代入橢圓方程中，設，由得向量關系，得到與的關系，據(jù)與及與系數(shù)比為2:3，得在直線.
試題解析：（1）由題意可得，解得，，,
所以橢圓：．                                   2分
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，
設，
因為PF2⊥F2Q，所以，
所以，
又因為且代入化簡得．
即直線與直線的斜率之積是定值．                     7分.
（3）設過的直線l與橢圓交于兩個不同點，點
，則，．
設，則，
∴，，
整理得，，，
∴從而，
由于，，∴我們知道與的系數(shù)之比為2：3，與的系數(shù)之比為2：3．
∴，
所以點恒在直線上．                                  13分
考點：1.橢圓的定義；2.離心率的定義；3.垂直的充要條件.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率，過點A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點的距離是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及漸近線方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx＋5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D，且兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，點P（-1，0）是其準線與軸的焦點，過P的直線與拋物線C交于A、B兩點.
（1）當線段AB的中點在直線上時，求直線的方程；
（2）設F為拋物線C的焦點，當A為線段PB中點時，求△FAB的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C長軸的兩個頂點為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點B的任意一點，直線AN與橢圓C交于點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），求證：直線NM經過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線經過點，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，
求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，曲線與曲線相交于、、、四個點.
⑴ 求的取值范圍；
⑵ 求四邊形的面積的最大值及此時對角線與的交點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經過點，求（為原點）面積的最大值.

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