【題目】我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理(祖暅原理):“冪勢(shì)既同,則積不容異”,“勢(shì)”即是高,“冪”是面積.意思是:如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率e=,焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.直線y=0與y=2在第一象限內(nèi)與雙曲線C及其漸近線圍成如圖所示的圖形OABN,則它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為___________.
【答案】
【解析】
由題意得雙曲線方程為=1,y=2在第一象限內(nèi)與漸近線的交點(diǎn)N的坐標(biāo)和與雙曲線
第一象限交點(diǎn)B的坐標(biāo),記y=2與y軸交于點(diǎn)M,由π|MB|2﹣π|MN|2=π,根據(jù)祖晅原理,
能求出它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積.
由題得,所以a=1,b=2.
∴雙曲線方程為=1,
y=2在第一象限內(nèi)與漸近線y=2x的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,2),
y=2與雙曲線=1在第一象限交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,2),
記y=2與y軸交于點(diǎn)M(0,2),A(1,0),
∵π|MB|2﹣π|MN|2==π,
根據(jù)祖晅原理,它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為=2π.
故答案為:2π.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年10月18日-27日,第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)在湖北武漢舉辦,中國(guó)代表團(tuán)共獲得133金64銀42銅,共239枚獎(jiǎng)牌.為了調(diào)查各國(guó)參賽人員對(duì)主辦方的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了500名參賽運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如下所示,現(xiàn)有如下說(shuō)法:①在參與調(diào)查的500名運(yùn)動(dòng)員中任取1人,抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為;②在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下可以認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”;③沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”;則正確命題的個(gè)數(shù)為( )附:
男性運(yùn)動(dòng)員 | 女性運(yùn)動(dòng)員 | |||||
對(duì)主辦方表示滿意 | 200 | 220 | ||||
對(duì)主辦方表示不滿意 | 50 | 30 | ||||
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |||
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 | ||
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)當(dāng),求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓C的離心率為.,是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任意點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)M為的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),過(guò)M且平行于OP的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得;若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知空間四邊形ABCD,∠BAC=,AB=AC=2,BD=CD=6,且平面ABC⊥平面BCD,則空間四邊形ABCD的外接球的表面積為( )
A. 60π B. 36π C. 24π D. 12π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=x,l2:y=-x,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在l1,l2上移動(dòng),|PQ|=2,N是線段PQ的中點(diǎn),記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(0,1)分別作直線MA,MB交曲線C于A,B兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=2,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】藥材人工種植技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:人工種植藥材時(shí),某種藥材在一定的條件下,每株藥材的年平均生長(zhǎng)量單位:千克是每平方米種植株數(shù)x的函數(shù).當(dāng)x不超過(guò)4時(shí),v的值為2;當(dāng)時(shí),v是x的一次函數(shù),其中當(dāng)x為10時(shí),v的值為4;當(dāng)x為20時(shí),v的值為0.
當(dāng)時(shí),求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
當(dāng)每平方米種植株數(shù)x為何值時(shí),每平方米藥材的年生長(zhǎng)總量單位:千克取得最大值?并求出這個(gè)最大值.年生長(zhǎng)總量年平均生長(zhǎng)量種植株數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且時(shí)有,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論:
甲:;
乙:函數(shù)在上是增函數(shù);
丙:函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱;
。喝,則關(guān)于的方程在上所有根之和為.
其中正確的是( )
A.乙、丁B.乙、丙C.甲、乙、丙D.乙、丙、丁
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長(zhǎng)速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)不超過(guò)4(尾/立方米)時(shí),的值為(千克/年);當(dāng)時(shí),是的一次函數(shù);當(dāng)達(dá)到(尾/立方米)時(shí),因缺氧等原因,的值為(千克/年).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時(shí),魚的年生長(zhǎng)量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
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