Question

（1）A（-2，0）、B（2，0），M滿足

MA

•

MB

=0，求M軌跡．
（2）若（1）中的軌跡按向量（1，-1）平移后恰與x+ky-3=0相切，求k．
（3）如圖，l過

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）長軸頂點(diǎn)A且與長軸垂直的直線，E、F是兩焦點(diǎn)，P∈l，P、A不重合，若∠EPF=α，則有0＜α≤arctan

c

b

，類比此結(jié)論到

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0），l是過焦點(diǎn)F且垂直x軸的直線，A、B是兩頂點(diǎn)，P∈l，P、F不重合，∠APB=α，求α取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M為（x，y）代入題目中的條件

MA

•

MB

=0可得x²+y²=4即得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由題意得得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或 k=

4

3

．
（3）類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質(zhì) 0＜α≤arctan

a

b

．

解答：解：（1）設(shè) M(x，y)，由

MA

•

MB

=0得x2+y2=4，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）將x²+y²=4向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后，得到圓（x-1）²+（y+1）²=4，
因?yàn)閳A平移后恰與x+ky-3=0相切，
所以 

|k+2|

k2+1

=2，
得k=0或 k=

4

3

．
（3）由題意可得：不妨設(shè)P（c，t）（t＞0），
則 tan∠APF=

a+c

t

，tan∠BPF=

c-a

t

所以 tanα=tan(∠APF-∠BPF)=

a+c t - a-c t

1+ b2 t2

=

2a

t+ b2 t

≤

a

b

所以0＜tanα≤

a

b

．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan

a

b

所以α取值范圍為：(0，arctan

a

b

]．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練的把向量條件坐標(biāo)化以及類比推理的有關(guān)知識，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．