Question

求函數(shù)y=log

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（x²-5x+4）的定義域、值域和單調區(qū)間．

Answer 1

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的定義域，然后在定義域內求函數(shù)的值域，函數(shù)y=log

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3

（x²-5x+4）是由y=log

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μ（x）與μ（x）=x²-5x+4復合而成，根據(jù)復合的兩個函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，即可求出函數(shù)y=log

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3

（x²-5x+4）的單調區(qū)間．

解答：解：由μ（x）=x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，
所以x∈（-∞，1）∪（4，+∞），
當x∈（-∞，1）∪（4，+∞），{μ|μ=x²-5x+4}=R⁺，
所以函數(shù)y=log

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（x²-5x+4）的值域是（-∞，+∞）．
因為函數(shù)y=log

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3

（x²-5x+4）是由y=log

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3

μ（x）與μ（x）=x²-5x+4復合而成，
函數(shù)y=log

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μ（x）在其定義域上是單調遞減的，
函數(shù)μ（x）=x²-5x+4在（-∞，

5

2

）上為減函數(shù)，在[

5

2

，+∞]上為增函數(shù)．
考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調性，
y=log

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3

（x²-5x+4）的增區(qū)間是定義域內使y=log

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3

μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-5x+4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（-∞，1）；
y=log

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3

（x²-5x+4）的減區(qū)間是定義域內使y=log

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3

μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-5x+4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，+∞）．

點評：本題考查復合函數(shù)的單調性，復合的兩個函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域，考查學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎題．